Efecto de las condiciones de frontera en la formación de patrones de Turing: caso de la difusión anómala

Abstract

El estudio de la formación de patrones inducidos por la difusión, o tipo Turing, es relevante para explicar ciertos fenómenos naturales. No obstante, si bien se han logrado avances notables en sistemas con difusión normal estos han sido limitados si se considera difusión anómala, característica de sistemas complejos como por ejemplo medios fractales o procesos de transporte en medios porosos. Dado que hasta el momento no existe un procedimiento general para resolver este tipo de sistemas en dominios acotados de forma analítica, no existe una teoría general que determine los efectos de las condiciones de frontera en la formación de patrones. Considerando lo anterior el objetivo de esta investigación es analizar mediante un enfoque numérico la influencia de las condiciones de frontera en la formación de patrones de Turing para diferentes regímenes de difusión. Se utilizaron como cinéticas las propuestas en el modelo BVAM, y para la modelación de la difusión anómala se consideró una dependencia espacial de los coeficientes de difusión acorde a una ley de potencia. Como resultados, en el trabajo se comprueban diversos fenómenos interesantes como potenciales estados multiestables, la inducción de simetrías debido a las condiciones de frontera y el efecto atractivo de las condiciones de frontera cuando se supera en estas una concentración umbral de los morfógenos. En el trabajo se argumentan implicaciones y/o aplicaciones potenciales de estos comportamientos.

The study of pattern formation induced by diffusion, or Turing-type patterns, is relevant for explaining certain natural phenomena. However, while notable advances have been made in systems with normal diffusion, these have been limited when considering anomalous diffusion, characteristic of complex systems such as fractal media or transport processes in porous media. Since there is currently no general procedure for analytically solving such systems in bounded domains, there is no overarching theory that determines the effects of boundary conditions on pattern formation. Considering this, the objective of this research is to numerically analyze the influence of boundary conditions on Turing pattern formation for different diffusion regimes. Kinetics proposed in the BVAM model were used, and for modeling anomalous diffusion, a spatial dependence of diffusion coefficients according to a power law was considered. The results confirm various interesting phenomena, such as potential multistable states, the induction of symmetries due to boundary conditions, and the attractive effect of boundary conditions when a threshold concentration of morphogens is exceeded. The paper discusses implications and/or potential applications of these behaviors.