Análisis y diseño de sistemas caóticos clásicos con base en filtros pasa-bajas

Abstract

Los sistemas caóticos tienen una gran relevancia debido a que es posible obtener distintos comportamientos variando las condiciones iniciales, además representan modelos matemáticos de diversos fenómenos físicos (termodinámicos, biológicos, climáticos, etc.), y cuentan con múltiples aplicaciones electrónicas cuyo diseño conduce a una gran variedad de circuitos [1]. Uno de los primeros modelados matemáticos de un sistema caótico es el sistema de Lorenz. Éste modela el clima y ha sido ampliamente estudiado por diversos autores [2–5]. Por otra parte, en la naturaleza es posible encontrar sonidos complejos sin estructura, aleatorios y/o caóticos, este tipo de sonidos son motivo de estudio actualmente. Un trabajo en particular sobre este tema es el análisis acústico realizado a sistemas caóticos. En este trabajo, se implementa un circuito electrónico equivalente al sistema de Lorenz, posteriormente se obtienen tres señales de voltaje correspondientes a cada uno de los estados del sistema. Estas tres señales son procesadas para obtener sus señales acústicas correspondientes. Éstas señales acústicas se analizan mediante sus series de tiempo, tonal en bandas de 1/3 de octava y su respuesta en frecuencia. Este último análisis muestra que las señales presentan un comportamiento tipo filtro [6]. Un filtro puede definirse como cualquier dispositivo que modifica de un modo determinado una señal que pasa a través de él. Existen diversas clasificaciones, entre ellas están los filtros Lineales y No-Lineales, los filtros electrónicos, ópticos, etc. [7]. Los filtros electrónicos no-lineales tienen muchas aplicaciones, especialmente en remover ruidos que son no aditivos. Por ejemplo, el filtro medio es ampliamente utilizado para eliminar los picos de ruido. De hecho, todos los receptores de radio utilizan filtros no-lineales para convertir señles de kilohertz a gigahertz de la gama de frecuencia de audio; y todo el procesamiento digital de señales depende de filtros no-lineales (de analógico a digital) para transformar las señales analógicas en números binarios. Sin embargo, los filtros no-lineales son considerablemente más difícil de usar y de diseñar que los lineales, debido a que las herramientas matemáticas más potentes de análisis de la señal (por ejemplo, la respuesta de impulso) no se pueden utilizar en ellos. Por otro lado, puesto que las señales de los estados del sistema de Lorenz presentan un comportamiento tipo filtro y es un sistema no-lineal, surge la motivación de Introducción utilizar los sistemas caóticos similares al sistema de Lorenz como filtros, y por lo tanto, la posibilidad de obtener filtros no-lineales. Bajo el concepto de asociar los filtros con sistemas caóticos, y ya que estos son osciladores no-lineales; se estudian y analizan osciladores lineales con retroalimentación negativa. Se seleccionan estos osciladores ya que cuentan en su estructura con una red tipo filtro en retroalimentación. Un ejemplo de este tipo es el oscilador de Colpitts [8]. Éste y uno derivado de él mismo, son analizados en el espacio de estados. Se emplea esta representación ya que es utilizada frecuentemente para el análisis de sistemas caóticos. El resultado del análisis en el espacio de estados se presenta como complemento para el criterio de Barkhausen [9–11]. El cual es una condición matemática necesaria para los osciladores lineales con retroalimentación, pero no suficiente. Después de revisar el estado del arte y estudiar temas como filtros, osciladores y sistemas caóticos, se observa que las ecuaciones del sistema de Lorenz tienen estructura similar a la de un filtro pasa-bajas de primer orden. Por lo que surge la idea de implementar circuitos equivalentes a sistemas caóticos diseñados con base en filtros pasa-bajas. Para ello, se utilizan los sistemas caóticos clásicos (Lorenz, Chen, Lü, Rössler y Chua). Estos son escalados para obtener ecuaciones diferenciales aptas para su implementación electrónica. Posteriormente, cada ecuación es estructurada o adaptada para que corresponda a la de un filtro pasa-bajas activo o pasivo de primer orden y de esta forma obtener el circuito electrónico. Por último, como aplicación para la metodología de diseño con base en filtros pasa-bajas, se toma un sistema dinámico que describe el comportamiento del mecanismo cinético entre los bloques tectónicos en la corteza terrestre que padecen efectos de deslizamiento por fricción [12] y se realiza el diseño de su circuito electrónico equivalente. Respecto al comportamiento tipo filtro reportado en ciertos sistemas caótico, se realiza su caracterización como filtros con base en su respuesta en frecuencia por medio de diagramas de Bode. Para ello, se introduce una señal a un sistema caótico especifico (sistema de Lorenz), de esta forma el oscilador se convierte en un sistema entradasalida [13]. Ya que no es posible obtener la función de transferencia del sistema de Lorenz, se opta por obtener las funciones de transferencia que corresponden al comportamiento local en los diferentes puntos de equilibrio. De estas funciones de transferencia, se obtienen los diagramas de Bode en magnitud y fase. Posteriormente, del modelo matemático del sistema caótico entrada-salida, se obtienen las señales temporales de cada uno de los estados a distintas frecuencias de la señal introducida. Con ellas, se obtienen los diagramas de Bode y son comparados con los diagramas de Bode locales de los puntos de equilibrio, y así, inferir el comportamiento del sistema. Finalmente, se presenta una propuesta sobre un filtro con base en el sistema de Lorenz. Este filtro cuenta en su estructura con un multiplicador conectado en serie con un filtro. De esta forma se obtiene un circuito que filtra la señal y además la modula a través de las señales que se inyectan al multiplicador. El presente trabajo esta estructurado de la siguiente forma: En el Capítulo 1 muestra el marco teórico sobre los sistemas caóticos, el análisis acústico de ellos, los filtros lineales y los osciladores lineales; el Capítulo 2 presenta el análisis dinámico a los osciladores lineales con retroalimentación. El Capítulo 3 describe el diseño de los sistemas caóticos con base en filtros pasa-bajas, el Capítulo 4 detalla la caracterización de los sistemas caóticos, finalmente en el Capítulo 5 se presentan las conclusiones generales de este trabajo.