Subgrupos con la Casi Propiedad de Extensión Congruente

Abstract

La estructura de los subgrupos de grupos libres es un tema clásico que se remonta a los orígenes de la teoría de grupos. El enfoque original desarrollado por Nielsen era tratar este tema por medio de la combinatoria, principalmente mediante la técnica de transformaciones Nielsen. De hecho, aún hoy en día este método sigue siendo uno de los más poderosos para trabajar con subgrupos de grupos libres. Un grupo libre F puede ser identi cado con el grupo fundamental de un grafo topológico (en el cual podemos pensar como un 1-complejo). El punto de vista topológico fue estudiado a detalle por J.Stallings y en sus trabajos introdujo la noción de empalme de grafos, la cual utilizamos como una de las principales herramientas en nuestro trabajo. La teoría de cancelación pequeña estudia a los grupos que tienen una presentación la cual satisface ciertas condiciones conocidas como condiciones de cancelación pequeña, esto es, las relaciones del grupo tienen pequeñas coincidencias entre sí. Las condiciones dan al grupo ciertas propiedades geométricas, algebraicas y algorítmicas. Tartakovskii público un documento en 1949 con el cual se convertiría en el precursor de la cancelación pequeña, en este se da una solución al problema de la palabra para una clase de grupos que satisfacen un complicado conjunto de condiciones combinatorias. La versión de la cancelación pequeña que es utilizada actualmente fue desarrollada por Martin Greendlinger en una serie de documentos en 1960. En particular Greendlinger demostró que el problema de la palabra es soluble en grupos nitamente presentados que satisfacen la condición de cancelación C (1/6). La teoría fue re nada y formalizada en un trabajo de Lyndon, Schupp y Lyndon-Schupp, quienes estudiaron el caso de las condiciones de cancelación pequeña no métricas y desarrollaron una versión de esta teoría para productos libres amalgamados y extensiones HNN. En este documento estudiamos los subgrupos nitamente generados de grupos libres los cuales poseen ACEP (Almost Congruence Extension Prop- erty), teniendo como objetivo formular criterios para determinar cuándo poseen o no esta propiedad. Las principales herramientas utilizadas son la teoría de cancelación pequeña y los grafos de Stallings. En §1 vamos a trabajar con los grafos de Stalling s, estos nos permitirán estudiar los subgrupos libres mediante el uso de grafos. En §2 estudiaremos la teoría de cancelación pequeña la cual nos será de utilidad para determinar cuando una palabra pertenece a un subgrupo normal. En §3 vamos a exponer algunos criterios para determinar si un subgrupo libre nitamente generado no tiene o no ACEP, esto en función de su grafo de Stalling s asociado. Además mostramos que cualquier subgrupo nitamente generado de un grupo libre satisface una generalización de ACEP.